Entiers consécutifs premiers entre eux - Corrigé

Énoncé

Démontrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^\ast\) , les entiers  \(n\)  et  \(n+1\)  sont premiers entre eux.

Solution

Soit  \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

La division euclidienne de  \(n+1\)  par  \(n\)  s'écrit :
  \(n+1=n \times 1+1\)  avec  \(0 \leqslant 1  lorsque  \(n \neq 1\) .
On peut alors utiliser l'algorithme d'Euclide pour déterminer  \(\mathrm{PGCD}(n;n+1)\)  : 
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a&b&q&r \\ \hline n+1&n&1&1\\ \hline n&1&n&0\\ \hline\end{array}\end{align*}\)  
donc  \(\mathrm{PGCD}(n+1;n)=1\)  lorsque  \(n \neq 1\) .

Lorsque  \(n=1\) , on a  \(\mathrm{PGCD}(n+1;n)=\mathrm{PGCD}(2;1)=1\) .

Finalement, pour tout  \(n \in \mathbb{N}^\ast\) ,   les entiers  \(n\)  et  \(n+1\)  sont premiers entre eux.